Aufgaben zu linearen Funktionen und Geradengleichungen

1

Bestimme die Steigung der folgenden Geraden.

- $- 1$
- $2,5$
- $1$
- $- 2,5$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
Der Graph ist steigend. Also können nur Antwortmöglichkeiten 2,5 und 1 richtig sein. Wenn du vom y-Achsenabschnitt (hier $y = - 2,5$ ) um $1$ nach rechts gehst, musst du etwa eins noch nach oben, um die Gerade wieder zu erreichen.
Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{1}{1}=1$ .
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Überlege dir, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnen könntest.
- $-\frac 23$
- $- 1,5$
- $3$
- $4,5$
- $\frac 32$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
Du sucht dir im Koordinatensystem zwei Punkte, deren Koordianten du leicht ablesen kannst. Hier z.B. $(1 ∣ 3)$ und $(3 ∣ 0)$ . Um von $(1 ∣ 3)$ zu $(3 ∣ 0)$ zu kommen, gehst du $2$ nach rechts und um $3$ nach unten.
Deine Steigung lautet also: $m=\frac{-3}{2}=-1{,}5$
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Überlege dir, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnen könntest.
- $- 1,2$
- $0,8$
- $3$
- $- 0,8$
- $2,4$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
Die Gerade ist fallend. Daher kann die Steigung nur negativ sein. als mögliche richtige Lösungen kommen also nur noch $- 0,8$ oder $- 1,2$ in Frage.
Wenn du im Koordinatensystem vom y-Achsenabschnitt um $1$ nach rechts gehst, musst du weniger als $1$ nach unten, um die Gerade wieder zu treffen. Also kann die Antwort $m = - 1,2$ nicht stimmen.
Wenn man den Graphen sehr sehr genau ansieht, kommt man auf das Ergebnis:
$m=\dfrac{-0{,}8}{1}=-0{,}8$
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Überlege dir, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnen könntest.
- $2$
- $1,8$
- $- 3,6$
- $- 1,8$
- $2,2$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
Der Graph ist steigend, also kann die Steigung nur positiv sein. Die Antwortmöglichkeiten $2$ oder $1,8$ oder $2,2$ stehen also noch zur Wahl.
Such dir einen Punkt auf der Geraden, dessen Koordinaten du leicht ablesen kannst. Hier eignet sich zum Beispiel der Punkt $(3 ∣ 0)$ . Von hier gehts du um $1$ nach rechts und weniger als 2 nach oben, um die Gerade wieder zu erreichen. Daher bleibt nur noch die Antwortmöglichkeit $m = 1,8$ übrig.
Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{1{,}8}{1}=1{,}8$
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Überlege dir, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnen könntest.
- $3$
- $-\frac{3}{7}$
- $7$
- $\frac{3}{7}$
- $-\frac{7}{3}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y = 3$ ) um $7$ nach rechts und um $3$ nach unten.
Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{-3}{7}=-\dfrac{3}{7}$
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2

Lies aus dem Graphen die Steigung ab.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y = 0$ ) um $1$ nach rechts und um $3$ nach oben.
Deine Steigung lautet also: $m = \dfrac{3}{1}=3$
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Überlege dir, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnen könntest.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y = 3$ ) um $1$ nach rechts und um $3$ nach unten.
Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{-3}{1}=-3$
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Überlege dir, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnen könntest.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y = - 3$ ) um $2$ nach rechts und um $3$ nach oben.
Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{3}{2}=1{,}5$
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Überlege dir, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnen könntest.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y = 4$ ) um $1$ nach rechts und um $1$ nach unten.
Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{-1}{1}=-1$
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Überlege dir, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnen könntest.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
Du gehst vom y-Achsenabschnitt (hier $y = - 3$ ) um $1$ nach rechts und um $2$ nach oben.
Deine Steigung lautet also: $m=\dfrac{2}{1}=2$
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3

Gegeben sind die folgenden Funktionsgraphen:

Welcher der vier Graphen gehört zur Gleichung $y=\frac{5}{4}x-1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen
Vorgegebene Graphengleichung: $y=\frac54x-1$
Du kannst die Steigung und den y-Achsenabschnitt dieses Graphen an der Gleichung ablesen.
$m=\frac{5}{4}$
$ t = - 1$
Überprüfe zuerst bei welchen Funktionen der y-Achsenabschnitt $t = - 1$ beträgt, indem du den y-Wert jedes Graphen abliest, indem die y-Achse geschnitten wird.
Nur Graph I und II haben den y-Achsenabschnitt $- 1$ also kannst du jeden anderen Graphen ausschließen.
Überprüfe nun welcher der beiden Graphen die Steigung $m=\frac54$ besitzt, indem du vom Punkt $x = 0$ ausgehend eins nach rechts gehst und überprüfst, welcher der beiden y-Werte sich um $\frac54$ erhöht.
Beide Graphen beginnen beim Punkt $P\left(0;-1\right)$ . Da die gesuchte Gerade die Steigung $\frac54$ hat, geht sie auch durch den Punkt $(0 + 4 ∣ - 1 + 5) = (4 ∣ 4)$ .
Durch diesen Punkt läuft nur die Gerade II.
$\Rightarrow$ Der Graph II ist der Graph, der zu der vorgegebenen Gleichung gehört.
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Wie lautet die Gleichung zum Graphen III?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen
zu überprüfende Gerade: Graph III
Lies zuerst wo der Graph die y-Achse schneidet, um den y-Achsenabschnitt zu ermitteln.
Der y-Wert des Punktes, indem die y-Achse geschnitten wird, beträgt $y = 1,25$ . Somit ist $t = 1,25$ .
Lies nun ab um wieviel sich der y-Wert verändert, wenn du ausgehend von $x = 0$ , eins nach rechts gehst. Dadurch ermittelst du die Steigung.
Der y-Wert erhöht sich von $y = 1,25$ auf $y = 2,25$ . Somit beträgt die Steigung $m=\frac{2{,}25-1{,}25}{1}=\frac11=1$ .
Stelle die Gleichung auf.
⇒ Der Graph III hat die Gleichung $y = x + 1,25$
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4

Bestimme die Gleichung der Geraden g, die parallel zur Geraden h ist und durch den Punkt P geht.

h: $y = 3 x - 2$ ; P(1|0) $\;$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
$y = 3 x - 2$ ; P(1|0)
Damit die gesuchte Gerade parallel zu h ist, muss sie die selbe Steigung besitzen.
Die Steigung einer Gerade ist m der allgemeinen Geradengleichung.
$m = 3$
Geradengleichung aufstellen
Setze m (3) und P(1|0) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
$\displaystyle 0$ $=$ $\displaystyle 3\cdot1+t$ $\displaystyle {-3}$
↓
Gleichung nach t auflösen.
$\displaystyle t$ $=$ $\displaystyle -3$
Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Geradengleichung: $y = 3 x - 3$
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h: $y = x - 4$ ; P(1|2) $\;$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
$y = x - 4$ ; P(1|2)
Damit die gesuchte Gerade parallel zu h ist, muss sie die selbe Steigung besitzen.
Die Steigung einer Gerade ist m der allgemeinen Geradengleichung.
$m = 1$
Gleichung aufstellen
Setze m (1) und P(1|2) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
$\displaystyle 2$ $=$ $\displaystyle 1+t$ $\displaystyle −1$
↓
Gleichung nach t auflösen.
$\displaystyle t$ $=$ $\displaystyle 1$
Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Geradengleichung: $y = x + 1$
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h: $y = 4 x$ ; P(5|18) $\;$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
$y = 4 x$ ; P(5|18)
Damit die gesuchte Gerade parallel zu h ist, muss sie die selbe Steigung besitzen.
Die Steigung einer Gerade ist m der allgemeinen Geradengleichung.
$m = 4$
Gleichung aufstellen
Setze m (4) und P(5|18) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
$\displaystyle 18$ $=$ $\displaystyle 4\cdot5+t$ $\displaystyle -20$
↓
Gleichung nach t auflösen.
$\displaystyle t$ $=$ $\displaystyle -2$
Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Geradengleichung: $y = 4 x - 2$
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h: $y = - 2 x + 1$ ; P(-1|4)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
$y = - 2 x + 1$ ; P(-1|4)
Damit die gesuchte Gerade parallel zu h ist, muss sie die selbe Steigung besitzen.
Die Steigung einer Gerade ist m der allgemeinen Geradengleichung.
$m = - 2$
Gleichung aufstellen
Setze m (-2) und P(-1|4) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
$\displaystyle 4$ $=$ $\displaystyle −2⋅(−1)+t$ $\displaystyle -2$
↓
Gleichung nach t auflösen.
$\displaystyle t$ $=$ $\displaystyle 2$
Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Geradengleichung: $y = - 2 x + 2$
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5

Funktionsgleichung bestimmen.

Eine Gerade hat die Steigung $a_{1}$ und verläuft durch den Punkt P. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.

${\mathrm a}_1=\frac12$ $\mathrm P\left(4|-2\right)$

${\mathrm a}_1=\frac34\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm P\left( 1| -3\right)$

${\mathrm a}_1=2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm P\left(3|-1\right)$

${\mathrm a}_1=\frac45\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm P\left(\frac32|4\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen

Bestimmung der Funktionsgleichung

Allgemeine Geradengleichung:

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle a_1\cdot x+t$
	↓	t: y-Achsenabschnitt Setze ${\mathrm a}_4=\frac45$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{5}x+t$
	↓	Setze $\mathrm P\left(\frac32\|4\right)$ in f(x) ein.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{5}\cdot\frac{3}{2}+t$
	↓	Kürze den Bruch mit 2.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{5}\cdot3+t$
	↓	Multipliziere
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle \frac{6}{5}+t$	$\displaystyle -\frac{6}{5}$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 4-\frac{6}{5}$
	↓	Schreibe 4 als Bruch mit 4 im Nenner.
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \frac{20}{5}-\frac{6}{5}$
	↓	Subtrahiere
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \frac{14}{5}$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 2{,}8$
	↓	Setze t in f(x) ein.

$\mathrm f(\mathrm x)=\frac45\mathrm x+2{,}8$

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze $f (x) = 0$ , um die Nullstellen zu bestimmen.

$\displaystyle \frac{4}{5}x+2{,}8$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2{,}8$
$\displaystyle \frac{4}{5}x$	$=$	$\displaystyle -2{,}8$	$\displaystyle :\frac{4}{5}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2{,}8:\frac{4}{5}$
	↓	Dividiere
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{7}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3{,}5$

$\Rightarrow$ Der Schnittpunkt mit der x-Achse bei $(-\frac 7 2|0)$

Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse.

Hier ist $t=2{,}8=\frac {14}{5}$

$\Rightarrow$ Schnittpunkt mit der y-Achse bei $(0|\frac {14}{5})$ .

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6354_l2wZiNbUj4.xml

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6

Funktionsgleichung bestimmen.

Eine Gerade verläuft durch die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.

${\mathrm P}_1\left(2|1\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(5|4\right)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Setze ${\mathrm P}_1$ und ${\mathrm P}_2$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\mathrm y=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t$
Wende das Additionsverfahren an.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}1)\;1=\mathrm m\cdot2+\mathrm t\\2)\;4=\mathrm m\cdot5+\mathrm t\end{array}$
$\displaystyle 1)-\;2)\;-3$ $=$ $\displaystyle -3m$ $\displaystyle :(-3)$
$\displaystyle m$ $=$ $\displaystyle 1$
Setze m in 1) ein.
$\displaystyle 1$ $=$ $\displaystyle 1\cdot2+t$ $\displaystyle -2$
$\displaystyle t$ $=$ $\displaystyle -1$
Setze t und m in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\mathrm y=\mathrm x-1\;\Rightarrow\;\mathrm f(x)=x-1$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen
$\displaystyle x-1$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle +1$
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{N}}$ $=$ $\displaystyle 1$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $\mathrm S_1\left(1|0\right)$
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt (t) $\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm S_2\left(0|-1\right)$
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $\mathrm S_1$ und $\mathrm S_2$ oder die beiden vorgegebenen Punkte $\mathrm P_1$ und $\mathrm P_2$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung eins nach rechts und eins nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
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${\mathrm P}_1\left(-3|-2\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(2\,|\,3\right)$

${\mathrm P}_1\left(-2|\,3\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(4\,|-1\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen